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Homogénéisation et approches multi-échelles (coordinateur P. Franciosi)

La modélisation micromécanique en « champs moyens » (approche autocohérente principalement, s’agissant de polycristaux) développée depuis plusieurs années a engendré successivement plusieurs modèles de complexité croissante désormais largement utilisés dans les études expérimentales, en outils de compréhension avant que de prévision. Les développements récents portent sur la mise en œuvre de l’approche en « champs complets » par FFT, l’étude du cadre de la plasticité régularisée, et des développements plus spécifiques liés au comportement mécanique de matériaux à architectures complexes ou de matériaux composites présentant des propriétés physiques couplées.

1. Développements spécifiques en homogénéisation

R. Brenner, P. Franciosi, O. Castelnau, B. Bacroix, Post-Doctorants K. Yoshida (2007 – 2009), Doctorants A. Belkabbaz (2009 – 2013), T. Otsuka (2011 – 2014)

Principales collaborations EDF (N. Rupin), Nippon Steel Corporation, F2MSP – CNRS, GDRE HetMat, Japon (A. Uenishi, S. Hiwatashi), USA, Cuba (J. Bravo-Castillero), Maroc (A. El Omri, A. Errabbi), LEM3 (S. Berbenni), Au LSPM : G. Dirras (EMC3), S. Mercone (FINANO), F. Schoenstein et N. Jouini (NINO), Participation à l’ANR Blanc MIMIC 2009 – 2011 (P. Franciosi, R. Brenner, resp. G. Dirras EMC3)

a) Homogénéisation numérique par FFT du comportement élastoplastique. En alternative avantageuse aux méthodes par éléments finis (MEF) pour estimer la réponse effective d’un volume élémentaire représentatif, et valider les approches en « champs moyens », des comparaisons ont été menées avec des calculs réalisés sur des agrégats polycristallins par la méthode FFT. La pertinence du modèle autocohérent pour décrire l’initiation de la plasticité au sein d’agrégats de grains au comportement élastique anisotrope a été examinée (collaboration R. Lebensohn). Ce travail a conduit à proposer une définition du seuil de plasticité qui est fonction de l’hétérogénéité du champ de contraintes locales. L’approche procure une explication à l’anomalie supposée du modèle autocohérent relevée par Hutchinson (1970). Le travail se poursuit dans le cadre de la thèse d’A. Belkhabbaz ainsi que dans le projet ANR MIMIC (piloté par G. Dirras, équipes EMC3/HPHT) dans lequel cette description statistique de la surface de plasticité est mise en œuvre pour des polycristaux avec une distribution de taille de grains. L’outil numérique développé a aussi permis de calculer (collaboration avec EdF-R&D (N. Rupin) et l’Université de Manchester (J. Fonseca)) la réponse élastoplastique d’un échantillon d’acier austénitique. La microstructure 3D utilisée a été obtenue par la technique de tomographie 3D-XRD. Une modélisation du comportement d’aciers austénitiques en laminage à chaud (thèse T. Otsuka 2011-2014, collaboration NSC) s’appuie sur ce code de plasticité cristalline par FFT dans lequel sont inclus les processus de transformations de phases et le développement de texture cristallographique.

A gauche, microstructure en 3D obtenue par tomographie X pour un acier 304L ; à droite, variation directionnelle du module d’Young calculé à partir de cette microstructure pour différents schémas d’homogénéisation. On peut noter le bon accord entre les calculs FFT et auto-cohérent. A. Belkhabbaz et al. / Procedia Engineering 10 (2011) 1883–1888

b) Plasticité régularisée des polycristaux. Pour les polycristaux, le critère de plasticité le plus usuel, la loi de Schmid (potentiel plastique multiple fonction du nombre de systèmes de glissement) est souvent régularisé sous une forme viscoplastique. Une autre régularisation proposée dans les années 90 et qui permet de rester dans un cadre élastoplastique avec potentiel plastique unique est souvent préférée pour cette raison. Elle a été utilisée dans deux études :
- La description du comportement élastoplastique d’aciers biphasés (ferrite et martensite) lors de trajets de chargement complexes (stage post-doctoral de K. Yoshida, collaboration NSC). Une partie de ce travail a porté sur l’analyse de critères de plasticité régularisée dans le contexte d’une modélisation en champs moyens avec le modèle autocohérent. Contrairement au modèle de Taylor, l’estimation autocohérente s’avère très dépendante du critère de plasticité du monocristal. La régularisation de la loi de Schmid y conduit à une très faible hétérogénéité du champ de déformation et à un comportement effectif qui ne respecte pas la borne variationnelle de Ponte Castaneda. Le lien entre ces estimations et d’autres travaux réalisés dans le cadre d’un comportement viscoplastique est montré ;
- L’association à l’approche TFA d’homogénéisation des polycristaux avec une description du glissement en structure multi-laminée (l’approche TFA n’est valide que pour des domaines plastiquement homogènes, exigence satisfaite « presque partout » dans les structures laminées). Quelques autres propriétés de ces structures laminées ont montré que par ce modèle la surestimation de rigidité de l’estimation TFA pouvait être réduite et le sur-écrouissage géométrique ramené au niveau de l’écrouissage intrinsèque du matériau (collaboration S. Berbenni, LEM3 Metz). Cette approche trouve également une application potentielle aux grains ultra-fins dans le cadre du projet ANR MIMIC.

Matériau isotrope, constitué de 216 phases élasto-plastiques (70%) et d’une phase élastique (30%). La simulation d’un essai de traction est réalisé à l’aide du modèle auto-cohérent, avec loi de Schmid standard ou régularisée. Il est clair que les deux modèles de plasticité donnent dans ce contexte une réponse radicalement différente. Le calcul réalisé avec la loi standard prévoit une plus grande hétérogénéité de déformation. A l’inverse, l’utilisation de la loi régularisée entraîne une réponse du modèle auto-cohérent proche de la borne supérieure, ce qui n’est pas satisfaisant. Les prévisions réalisées dans la thèse de A. Belkhabbaz (soutenance début 2013) avec la méthode FFT ont récemment montré que cette différence était inhérente à l’utilisation du modèle auto-cohérent et n’invalidait donc pas l’utilisation de la loi de Schmid régularisée. Yoshida et al. Eur. J. Mechanics A/Solids 28 (2009) 905–915

c) Approches spécifiques pour matériaux à phases co-continues. Une part de ces travaux s’appuie sur l’usage de la transformée de Radon et son inverse pour déterminer l’opérateur intégral de Green modifié intervenant dans l’estimation des propriétés effectives des matériaux hétérogènes. Dans les matériaux réels à inclusions polymorphes et non uniformément réparties, il a été montré (P. Franciosi) que cette transformée donnait une forme exacte ou en bonne approximation pour des domaines fermés de formes quelconques (inclusion ou motif d’inclusions). Un lien établi avec les structures multi-laminées ouvre des applications multiples jusqu’en plasticité pour des représentations originales des mécanismes plans (glissement, maclage). Dans ce contexte, les implications de l’usage des structures multi-laminées ont amenées à reconsidérer certaines représentations microstructurales des années 70, appelées Fiber systems et Platelet systems. Ces systèmes sont montrés légitimes pour estimer la rigidité (élevée) de structures à phases co-continues (ni agrégats ni matrices renforcées d’inclusions). Leur étude conduit à proposer des structures à phases co-continues réalisable et par dualité des structures à phases co-discontinues (aucune des phases constituée en cluster infini) de souplesse élevée (collaboration A. El Omri, Maroc).

d) Homogénéisation numérique pour comportements couplés. De nombreux matériaux d’intérêt industriel présentent, en plus d’une hétérogénéité microstructurale, un couplage au niveau du comportement local entre des champs de nature différente (mécanique, thermique, électrique, magnétique etc.). Pour le calcul de la réponse effective et de la distribution des champs locaux pour ce type de matériaux, la méthode FFT prend l’avantage sur les méthodes par éléments finis (MEF), non seulement en temps de calculs, mais en pouvant appréhender facilement des microstructures arbitrairement complexes puisqu’elle utilise directement l’image numérique du matériau. L’application à des problèmes couplés linéaires pour lesquels la loi de comportement relie des champs à divergence nulle et des champs dérivant d’un potentiel aboutit à exprimer la solution sous la forme d’équations périodiques couplées de Lippman-Schwinger. Leur résolution numérique peut alors se faire en utilisant la transformation de Fourier. Cette approche a été appliquée à un biphasé piézoélectrique/non piézoélectrique et à un matériau piézoélectrique poreux. Le schéma numérique par FFT a été comparé avec succès à des solutions analytiques ainsi qu’à des résultats par MEF (en collaboration avec l’équipe de J. Bravo-Castillero (Univ. La Havane, Cuba) qui a produit une solution par méthode d’homogénéisation asymptotique). Ce travail a été étendu à l’étude de matériaux composites multiferroïques qui présente, uniquement à l’échelle macroscopique, un couplage magnétoélectrique (effet extrinsèque). Une des perspectives de ce travail est de tenir compte de la nature polycristalline de la microstructure ainsi que des évolutions microstructurales intragranulaires. Il s’étend à l’étude des propriétés magnétiques, électroniques et magnéto-élastiques de matériaux nanostructurés élaborés à base de métaux et d’oxydes fonctionnels correspondants (collaboration à la thèse N. Ballot, 2010, équipes Nino et Finano).

2. Développement de la Diffraction des Rayons X

B. Bacroix, T. Chauveau, O. Castelnau (désormais au PIMM), Doctorant C. Le Bourlot (2008 – 2012), M. Wronski (2010 – 2013), S. Dufrenoy(2012 – 2015)

Principales collaborations Eurocopter, F2MSP - CNRS, Pologne (K. Wierzbanowski, S. Wronski et J. Tarasiuk), GDR Recristallisation Polonium 2008 – 2011 (participation B. Bacroix)

L’information contenue dans les pics de Bragg en diffraction (rayons X ou neutrons), concernant l’état mécanique du matériau et notamment la distribution des déformations élastiques sur le volume de matière analysé, ne s’extrait pas aisément. De nombreux facteurs altèrent la mesure (taux de comptage, monochromaticité du faisceau incident et son parallélisme) donc son interprétation fine. La prise en compte de ces distorsions est incontournable pour les mesures sur diffractomètres de laboratoire à sources de faible brillance limitant la résolution. La réalisation d’un diffractomètre dit « de haute résolution » au LSPM (T. Chauveau) induisit l’évaluation expérimentale de la résolution de nos différents dispositifs et le développement d’un programme « de lancer de rayons » pour une évaluation numérique (thèse C. Le Bourlot 2008-2012). Les incertitudes associées aux mesures ont été exprimées en fonction des conditions d’acquisition des données, permettant ainsi de définir à l’avance la résolution du protocole expérimental nécessaire au but recherché. Cette approche a été mise en œuvre dans le cadre de mesures en traction in-situ sur acier biphasé réalisées en rayonnement synchrotron et diffusion de neutrons afin de comparer l’influence des montages expérimentaux. Elle a mis en évidence un affinement des pics de Bragg lors de la mise en charge de l’éprouvette, dans le domaine élastique et lié ce résultat au couplage entre les contraintes résiduelles d’élaboration du matériau et le champ hétérogène des contraintes provenant du chargement macroscopique. Cela montre que les mesures de diffraction en volume, qui sont des mesures de champ dans l’espace des orientations, fournissent une base solide de données pour l’identification de modèles micromécaniques. La validation de ces outils de modélisation et de mesure DRX se poursuit. La base de données déjà acquise sur cuivre, acier et zirconium a montré que l’on pouvait également extraire des mesures DRX l’énergie stockée de déformation dans différentes composantes de textures, et ce d’autant plus facilement que la texture se réduit à nombre limité d’orientations. La base est actuellement complétée par des mesures (énergie stockée et champs de déformations) sur de nouveaux matériaux (magnésium, tantale, ….) dans le cadre du GDR « Recristallisation » notamment, ou après des sollicitations complexes tel le laminage asymétrique (thèse M. Wronski) ; dans ce cas, l’approche de modélisation retenue est une approche par éléments finis et ce travail devrait aussi permettre de confronter les différentes approches polycristallines.

Acier duplex biphasé déformé en traction. Comparaison des champs des déformations de la phase Alpha211 de la ferrite, à 400 MPa. Données expérimentales obtenues par diffraction sous contrainte à gauche et sortie du modèle à droite. (Thèse Le Bourlot, 2012).

3. Applications

R. Brenner, P. Franciosi, O. Castelnau, B. Bacroix, R. Chiron, S. Bouvier, Post-Doctorants G. Geandier (2007 – 2009), J.Y.Kang (2009), Q.Y. Vu (2010 – 2011), Doctorants N. Benmhenni (2008 – 2012), C. Gérard (2004 – 2008), A. Wauthier (2004 – 2008).

Principales collaborations EDF, ArcelorMittal, EADS, F2MSP, GDR Recristallisation, Corée, USA, GDRE HetMat, LEM3 (C. Fressengeas), USA (R. Lebensohn, P Ponte Castaneda, O. Cazacu, D.K. Blackman, T. Becker, A.G.Ramm), Au LSPM, G. Dirras et H. Haddadi (EMC3), D. Faurié (FINANO).

ANR Pnano CMONANO 2005 – 2009 (Resp. O. Castelnau, avec R. Chiron, D. Faurié) ANR Blanc ELVIS 2009 – 2011 (Resp. O. Castelnau, avec R. Brenner). ANR Blanc MANTLE 2009 – 2012 (Resp. LSPM : O. Castelnau, transféré au PIMM en 2010) Projet FRAE OPTIMIST 2008 – 2011 (Resp. B. Bacroix avec R. Brenner, S. Bouvier, H. Haddadi), collaborations E. Massoni (CEMEF), L. Tabourot (SYMME), F. Schuman, J.S. Lecomte et M.J. Philippe (LEM3) Projet IAP P6/24 2007-2011 (Resp. M. Gaspérini, avec S. Bouvier), collaboration P Van Houtte, L. Rabet et A.M. Habraken (Belgique).

L’extension à de nouvelles problématiques des modèles micromécaniques et des dispositifs de mesures innovants et plus précis est une activité de recherche essentielle nourrie de nombreuses collaborations. Cinq axes sont investis :

a) Amélioration des lois de comportement à l’échelle du grain. La validation des lois de comportement monocristallines (écrouissage – restauration) retenues dans les modèles est en réactualisation permanente. La thèse de C. Gérard (2004 – 2008) a montré sur le cuivre qu’un fort coefficient d’écrouissage colinéaire dans les métaux CFC était nécessaire afin de reproduire des courbes de traction expérimentales obtenues dans différentes directions, confirmant ainsi des résultats récents de simulation par DD. La prise en compte d’une structure de dislocations dans la loi d’écrouissage a également permis d’améliorer les prévisions de texture de déformation dans l’acier (thèse A. Wauthier, 2004 – 2008). La confrontation des valeurs d’énergie stockée issues de mesures DRX dans différentes orientations et de prévisions auto-cohérentes a permis de proposer une loi d’écrouissage – restauration anisotrope capable de rendre compte de la forte anisotropie observée du côté de la restauration dans certains orientations particulières, telle l’orientation Cube dans le cuivre (dont le rôle en recristallisation est crucial). Des travaux récents réalisés sur matériaux hexagonaux (stage post-doc de J.Y. Kang) ont montré la pertinence des lois proposées en présence d’interactions glissement / maclage.

Comparaison des densités de dislocation mesurées dans les composantes de texture d’un échantillon de cuivre laminé à 90% et des densités calculées à l’aide d’un modèle micromécanique, avec une loi d’écrouissage à bases physiques tenant compte de mécanismes de restauration dynamique. On peut noter que la prise en compte d’un processus améliore considérablement la prévision des densités de dislocations, et notamment dans la composante Cube. Bacroix & Brenner, Computational Materials Science 54 (2012) 97–100

b) Couplage homogénéisation et modèles phénoménologiques. Les modèles de plasticité polycristalline, validés tant sur la loi de localisation que sur le comportement du monocristal, permettent après ajustement sur des critères de plasticité analytiques de réaliser des simulations numériques de processus d’emboutissage réellement prédictives. Aux fins d’étude du comportement du titane pour l’aéronautique, une méthode d’identification et validation d’une loi monocristalline utilisée dans un modèle autocohérent viscoplastique été mise en œuvre (thèse de N. Benmhenni, coll équipe EMC3). Elle prend en compte des essais mécaniques variés (cisaillement, traction, compression), des mesures de champ, des évolutions de texture, des observations fines des mécanismes à l’échelle des grains (réalisées au LEM3). Elle a permis de proposer in fine des critères analytiques pouvant rendre compte de la forte anisotropie du matériau et du caractère asymétrique des mécanismes d’écrouissage ; ceux-ci sont en cours d’implémentations des Abaqus.

Courbes contrainte – déformation obtenues en cisaillement monotone (MS), Bauschinger (BS) et cyclique (CS) sur du titane pur ; on peut noter le fort effet Bauschinger du matériau. Bouvier et al., Mater. Sci. Eng. : A 535 : 12-21.

c) Géomatériaux. Le projet ANR ELVIS a visé une représentation améliorée du couplage élasticité / viscoplasticité dans les matériaux hétérogènes et polycristallins. Le LSPM a développé les méthodes d’homogénéisation en ce sens (couplage de la méthode « affine » de Masson-Zaoui pour les effets de mémoire, avec la linéarisation « du second ordre » de Ponte Castañeda pour le régime de fluage secondaire). Parallèlement, le LSPM a été impliqué dans la thèse de F. Grennerat au LGGE (soutenue en 2011). Des essais de recouvrance ont été réalisés sur des éprouvettes de glace colonnaire, qui sont pratiquement des éprouvettes 2-D du point de vue mécanique. Les observations des hétérogénéités de champs de déformation intragranulaire par corrélation d’images ont été interprétées à l’aide des modèles de comportement à densité continue de dislocations (collaboration C. Fressengeas). La confrontation avec des calculs « en champs complets » par FFT, est en cours d’achèvement en partenariat avec le LMA. Le projet ANR MANTLE RHEOLOGY étudie la rhéologie des minéraux constitutifs du manteau terrestre (olivine, pyroxènes, ...) à partir d’expérimentations haute pression / haute température en DRX dédiée, se rapprochant des conditions in situ, et de modélisation micromécanique multi-échelle, de nanométrique (structure des défauts) à centimétrique (polycristal), en passant par le comportement collectif des dislocations (à l’échelle du micron par DDD et observations MET). Initié au LSPM, ce projet se poursuit au PIMM. 

d) Couches minces nanostructurées. La nanostructuration peut conduire à des performances mécaniques (dureté élevée, haute limite élastique,…) et tribologiques (en systèmes multicouches). Le projet ANR CMONANO a consacré un effort important au développement des techniques de caractérisation élastique de films minces par traction in situ en diffraction des rayons X (rayonnement synchrotron). L’adaptation de la sonde mécanique à l’échelle nanométrique sans dépasser la limite élastique de la structure a permis (R. Chiron) de développer une machine de traction biaxiale, interfacée avec le synchrotron SOLEIL, pour films minces supportés. Le gain en résolution avec le rayonnement synchrotron permet l’accès à la mesure des hétérogénéités dites "intraphases" de déformation, dont l’analyse améliore la compréhension des interactions mécaniques intergranulaires. Une modélisation par méthode d’homogénéisation à trois échelles (grain-couche-échantillon multicouche) a permis de prendre en compte les effets de texture cristallographique et morphologiques des grains. Le modèle a été validé sur des solutions de références obtenues par Eléments Finis polycristallins. La confrontation expérimentale sur des systèmes multicouches W/Cu d’épaisseur nanométrique est très bonne. Ce travail a levé un verrou technologique (caractérisation du comportement élastique de films minces nanostructurés et texturés) et un verrou scientifique (analyse et modélisation de ce comportement).

e) Matériaux à architectures complexes. Les modèles à base de systèmes de Fibres et de Strates diversement associés s’avèrent estimer correctement les propriétés effectives d’une grande variété de structures à phases partiellement ou totalement co-continues selon les concentrations des phases. Ces systèmes permettent de considérer diverses topologies structurales (mousses et éponges métalliques, matériaux poreux et osseux, mélanges de polymères, etc). Ces topologies sont très présentes dans les problématiques d’allègement de structure ou de leur fonctionnalisation (isolation, filtrage, stockage), en présence ou non de plasticité (GDRE « Heterogeneous Materials »). En étude fondamentale dans ce contexte, la modélisation des changements de continuité des phases par l’explicitation des termes d’interface dans les opérateurs impliqués, ce que la transformée de Radon permet formellement. Elle concerne également la description de certains types d’endommagement ainsi que les processus de compaction/décompaction de poudres.